Üslü Sayılar

Üslü Sayılar

A bir sayı ve n bir pozitif tam sayı olmak üzere, n tane a’nın çarpımına “a’nın n. kuvveti” ya da “a üstü n” denir.

aⁿ = a.a.a.a.a…a

biçiminde gösterilir.

Sayılar yaşamın her alanındadır. Sayılarla birçok yerde karşılaşmaktayız. Çoklukların miktarı, kaç tane olduğu sayılarla ifade edilir.

Bazı çoklukların sayısı o kadar büyüktür ya da o kadar küçüktür ki yazılması güçtür.

Dünyanın en kalabalık ülkesi Çin’dir. Çin’in nüfusu yaklaşık 1.321.000.000 (1321 milyon)’dur. Okyanus sularının ağırlığı yaklaşık 1.390.000.000.000.000.000 (1390 trilyon) tondur. Virüslerin çoğunluğunun kapsit çapı 0,00001 ile 0,0003 mm arasındadır. Çok büyük ve çok küçük sayıları daha kolay ifade etmek için üslü sayılar kullanılır.

Üslü Sayıların Özellikleri

1. Bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir.

a¹ = a

5¹ = 5

(-3) ¹ = -3

2¹ = 2

2. Sıfırdan farklı bir sayının 0. kuvveti 1’e eşittir.

a⁰ = 1

18⁰ = 1

(-132) ⁰ = 1

6⁰ = 1

O⁰ = tanımsız

3. Üslü bir sayının kuvveti alınırken üsler çapımı tabana üs olarak yazılır.

(aⁿ) ^m = a^n.m

(3²) ³ = 3^2.3 = 3⁶

(4³) ⁵ = 4^3.5 = 4⁶

(2⁶)⁷ = 2^6.7 = 2⁴²

Üslü Sayıların Değeri

aⁿ üslü sayısında,

a = taban

n = üs (kuvvet) tür.

2⁴  = 2 . 2 . 2 . 2 = 16

5² = 5 . 5 = 25

Tek ve Çift Kuvvetler

Negatif bir sayının çift sayı kuvveti pozitif, tek sayı kuvveti negatiftir.

A negatif bir sayı ve n bir tam sayı olmak üzere,

a²ⁿ  : pozitif

a²ⁿ⁺¹  : negatif

(-3) ²  = (-3) . (-3) = 9

(-1) ²  = (-1) . (-1) = 1

(-6) ²  = (-6) . (-6) = 36

(-5)³ = (-5) . (-5) . (-5) = -125

Pozitif bir sayının, tek ve çift kuvvetleri pozitiftir.

a pozitif bir sayı ve n bir tam sayı olmak üzere,

a²ⁿ  : pozitif

a²ⁿ⁺¹  : pozitif

5³ = 5 . 5 . 5 = 125

6² = 6 . 6 = 36

3⁴ = 3 . 3 . 3 . 3 = 81

7³ = 7 . 7 . 7 =343

Bir Sayının Pozitif ve Negatif Üssü

Bir üslü sayıda, paydan paydaya ya da paydadan paya sayıların yeri değiştirildiğinde üssün işareti değişir.

Kesirlerde Negatif Üs

Bir kesrin üssü negatif ise, kesrin payı ile paydası yer değiştirilip üssü pozitif yapılır.

a ve b birer sayı, n pozitif bir tam sayı ise,

olur.

Biliyormusunuz?

Uzun yazmak zorunda kalınan sayılar kısaca üslü sayılarla ifade edilebilirler. Örneğin 9’un 9. Kuvvetinin 9. Kuvveti, yani 9^387420489 dur.Eğer bu üslü sayının değeri yazılmak istenirse 369 milyon basamağa ve 800 km uzunluğunda kağıda ihtiyaç vardır.

Örnek 1 : Karenin bir kenar uzunluğu 0,5 m’dir. Bu karenin alanı kaç santimetre karedir?

Çözüm :

A = a²

A = (0,5)² = (0,5) . (0,5)

A = 0,25 m²

1 m² = 10.000 cm

0,25 m² = 2500 cm²

Üslü Sayılarda Toplam ve Fark

Üslü sayılarla toplama veya çıkarma işlemi yapabilmek için taban ve üssün aynı olması gerekir.

5.2³+6.2³=(5+6).2³=11.2³

Taban ve üssü aynı olmayan üslü sayılarla toplama veya çıkarma işlemi yapabilmek için bu üslü sayıların değeri bulunur.

2³ + 5² = 2.2.2 + 5.5

8 + 25 = 33

Üslü Sayılarla Toplama ve Çıkarma

aⁿ üslü bir sayı ve x, y birer katsayı ise,

x . aⁿ + y . aⁿ = (x + y) . aⁿ

x . aⁿ – y . aⁿ = (x – y) . aⁿ

8.5³+7.5³=(8+7).5³=15.3³

9.2⁴+8.2⁴=(9+8).2⁴=17.2⁴

15.5⁴-3.5⁴=(15-3).5⁴=12.5⁴

12.6²-2.6² (12-2).6²=10.6²

Örnek 2 : 5 + 2 . 5 – 4 . 5 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm : (1 + 2 – 4) . 5² = -1 . 5²

= 5²

Örnek 3 : 4 . 5³ + 125 + 6 . 5³ – 2³ işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü :

4 . 5³ + 5³ + 6 . 5³ – 2³

= (4 + 1 + 6) . 5³ – 2³

= 11 . 5³ -2³

Üslü Sayılarla Çarpma

1. Tabanları aynı, üsleri farklı üslü sayılarla çarpma

a sıfırdan farklı bir sayı ve m, n birer tam sayı ise,

a^m . aⁿ = a^m+n olur.

Tabanları aynı, üsleri farklı üslü sayılarla çarpma yaparken:
1. Taban aynen yazılır.
2. Üsler toplanıp üs olarak yazılır.

2⁵ . 5⁶ = 2⁵⁺⁶ = 2¹¹

Örnek 4 : 5³ . 125 . 5⁸ . (5²) ³ işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm :

5³ . 5³ . 5³ . 5^2.3

= 5³ . 5 ³. 5⁸ . 5⁶

= 5^3+3+8+6 = 5²⁰

2. Tabanları farklı, üsleri aynı üslü sayılarla çarpma

Tabanları farklı, üsleri aynı üslü sayılarla çarpma yaparken:
1. Tabanlar çarpılıp taban olarak yazılır.
2 Ortak üs, üs olarak yazılır.

2³ . 5³ = (2 . 5) ³ = 10³

a ve b sıfırdan farklı birer sayı, n bir tam sayı ise,

aⁿ . bⁿ = (a.b)ⁿ olur.

Örnek 5 : 3⁶ . (3²) ³ . 5⁶ işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü :

3⁶ . 3^2.3 . 5⁶

= 3⁶ . 3⁶ . 5⁶

= (3 . 3 . 5) ⁶ = 45⁶

3. Tabanları ve üsleri farklı üslü sayılarla çarpma

Tabanları ve üsleri farklı üslü sayılarla çarpma yaparken:
1. Üslü sayıların kuvvetleri alınarak değerleri bulunur.
2. Bulunan değerler çarpılır.

2⁵ . 3² işleminde :

2⁵ = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32

3² = 3 . 3 = 9

32 . 9 = 288 ‘dir.

Biliyormusunuz?

Bazı sayılar için özel eşitlikler vardır.

Sayının rakamlarının küpleri toplamı, o sayıya eşittir.

153 = 1³ + 5³ + 3³

371 = 3³ + 7³ + 1³

407 = 4³ + 0³ + 7³

Benzer şekilde sayının rakamlarının 4. Kuvvetleri toplamı, o sayıya eşittir.

8208 = 8⁴ + 2⁴ + 0⁴ + 8⁴

4151 = 4⁴ + 1⁴ + 5⁴ + 1⁴

Üslü Sayılarla Bölme

1. Tabanları aynı, üsleri farklı üslü sayılarla bölme

Tabanları aynı, üsleri farklı üslü sayılarla bölme yaparken:

1. Taban aynen yazılır.
2. Üsler farkı bulunup üs olarak yazılır.

Örnek 6 :

2. Tabanları farklı, üsleri aynı üslü sayılarla bölme

Tabanları farklı, üsleri aynı üslü sayılarla bölme yaparken:
1. Tabanlar bölünüp taban olarak yazılır.
2. Ortak üs, üs olarak yazılır.

Örnek 7 :

3. Tabanları ve üsleri farklı üslü sayılarla bölme

Tabanları ve üsleri farklı üslü sayılarla bölme yaparken:
1. Üslü sayıların kuvvetleri alınarak değerleri bulunur.
2. Bulunan değerler bölünür.

Örnek 8 : Dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın alanı 5 m’dir.
Bu tarlanın kısa kenarı 5 m olduğuna göre uzun kenarı kaç metredir?

Çözüm :

Soru :

   Teog matematik (ırem ve kubra )