OLASILIK

OLASILIK
Bir durumla ilgili sonuçların elde edilmesi için yapılan işleme deney denir. Deneyde elde edilen sonuçların her birine çıktı denir örnek uzayın her bir çıktısını olay denir.
"Asel yayın " kelimesinin her bir harfe pullara yazılarak bir torbaya atılıyor. Torbadan rastgele bir pul çekiliyor. Çekilen pulda yazan harfi sessiz harf olma durumunu bulunuz.
●ÖRNEK UZAY: a S e L Y a Y ı N
1den 30a kadar 30 dahil aynı özelliğe sahip 30 karta yazarak bir torbaya atıyoruz. Torbadan rastgele seçilen Bir sayının asal sayı olma durumunun olay çıktı deney ve örnek uzayını bulunuz.
●ÇIKTI: 1den 30a kadar
●UZAY: 1 den 30 a kadar olan asal sayı

Bir çıktı sayısının çıktı örnek uzay eleman sayısına oranına a olayının olma olasılığı denir.

Bir olayın olma olasılığı 1 ise bu olaya kesin olay denir . 0 ise imkansız olay denir . Olasılık her zaman 0 ile 1 arasındadır. 

Not: bir olayın olma olasılığı ile olmama olayının olasılığının toplamı birdir. 

BİLGİLER (karekök üslü sayılar ebob ekok )

BİLGİLER

ARALARINDA ASALLIK

ARALARINDA ASALLIK

SORUNUN CEVABINI YORUMA YAZINIZ. 

BİLİMSEL GÖSTERİM ve IR RASYONEL SAYILAR

a.10ⁿ şeklindeki gösterime çok büyük pozitif sayıların bilimsel gösterimi denir.

• 300 000 000 000 sayısını bilimsel şekilde yazalım.
• 10^-3 , 10^-4 , 10^-5 ve 10^-6 sayılarının sonuçlarını bulalım.
• 10 − n = 0 , 000...01 ⏞ n basamak. 

Sorunun cevabını yoruma yazınız. 

İRRASYONEL SAYILAR 

Karekök 2

-KAREKÖKLÜ İFADELERİN 2 -

KARAKÖKLÜ İFADELER

KAREKÖK İÇİNDEKİ İFADENİN KÖK DIŞINA ÇIKARILMASI

Karekök içindeki sayı karesel olarak yazılabilen bir sayı ise bu sayı karekök dışına çıkarılabilir. Karekök içindeki üslü sayı var ise; üssün yarısını alarak karekök dışına çıkarabilirsiniz. Örnekleri dikkatlice inceleyiniz.

Karekök içindeki sayıları kök dışına çıkarırken daha hızlı işlem yapabilmek için 1'den 20 ye kadar olan sayıların karesini ezbere bilmenizde fayda var. Böylece hem üslü sayılar konusunda hem de kareköklü sayılar konusundaki işlemleri çok daha hızlı bir şekilde çözebilirsiniz. Aşağıda 400'e kadar ki sayılar arasından karekök dışına çıkabilen sayıları yazdım. Çokça soru çözdüğünüzde de zaten ister istemez ezberlemiş olacaksınız.

KAREKÖK DIŞINDAKİ ÇARPANIN KÖK İÇİNE ALINMASI 

Kareköklü bir sayının kat sayısını kök içine almak için; kat sayının karesini alarak kök içindeki sayı ile çarpar ve kök içinde yazarız.

Yukarıdaki örneklerde de görüldüğü üzere, karekök dışındaki bir sayıyı karekök içinde almak için tek yapmamız gereken; Karekök dışındaki sayının karesini alarak, karekök içindeki sayı ile çarpmak ve sonucu karekök içinde yazmaktır.

RASYONEL SAYILARIN KAREKÖKÜ 

Pay ve paydanın ayrı ayrı karekökleri alınır. Yani, payın karekökünü bulup paya, paydanın karekökünü bulup paydaya yazarız.

Tam sayılı kesirleri ise öncelikle bileşik kesre çevirip daha sonra kareköklerini buluruz.
Örnekler: 

KAREKÖKLÜ BİR SAYIYI a Kök b BİÇİMİNDE YAZMAKareköklü Sayılar

Kareköklü bir sayıyı a kök b biçiminde yazma işlemini iki farklı yoldan yapabilirsiniz.

» Karekök içindeki sayı, çarpanlarından birisi bir doğal sayının karesi olacak şekilde iki sayının çarpımı şeklinde yazılır. Karesel olarak yazılan sayı karekök dışına çıkarılır.

» Karekök içindeki sayıyı asal çarpanlarına ayırarak da kök dışına çıkarabilirsiniz.

Sizde çarpanlarına ayırarak kök dışına çıkarmayı yapabilirsiniz.

Her iki çözüm yolu da aynı kapıya çıkıyor aslında ama bazen doğru çarpanları bulamayacağımız büyük bir sayı ile karşılaşabiliriz. O zaman asal çarpanlarına ayırarak karekök dışına çıkarma yolunu tercih ederiz.

KAREKÖKLÜ SAYILARDA SIRALAMA
Kareköklü sayılarda sıralama işlemi yaparken; Verilen kareköklü ifadelerin karekök dışına yaklaşık olarak kaç çıktığını bularak da yapabiliriz ama ben size daha pratik ve güvenilir olan yoldan sıralama yapmanızı öneririm. Şöyle ki;

Verilen kareköklü ifadelerde karekök dışında bir sayı var ise bu sayıyı karekök içine alınız. Hepsini kök içine aldığınızda sayısal değeri büyük olan sayı daha büyük olacaktır. Aynı doğal sayılarda yaptığınız sıralama işlemi gibi yani. Ama büyün sayıların karekök içinde olması gerekiyor. Soruda verilen sayıların hepsi zaten karekök içinde ise o zaman sayısal değeri büyük olan daha büyüktür diyebilirsiniz. Örnekleri incelediğinizde daha iyi kavrayacaksınız.

Kareköklü sayılarda sıralama işlemi için daha fazla örnek soru çözmeye ihtiyaç yok bence, çünkü yapmanız gereken şey çok kolay. Verilen bütün sayıları karekök içine aldıktan sonra doğal sayılarda sıralama yapıyormuş gibi sıralama yapmalısınız.

KAREKÖKLÜ SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ

Kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yaparken kökler içindeki sayıların aynı olması gerekiyor. Eğer aynı değil ise önce karekök içleri aynı yapılmaya çalışılır.

Kareköklerin içindeki sayılar aynı ise; katsayılar toplanır ve kat sayı olarak yazılır. Daha Sonra ortak kök kat sayının sağına çarpım durumunda yazılır.

Dikkat: Katsayısında herhangi bir sayı bulunmayan kareköklü sayıların kat sayısını 1 olarak almayı unutmayınız. 

Kareköklerin içindeki sayılar farklı ise; Önce karekök içleri aynı yapılmaya çalışılır, daha sonra kat sayılar arasında toplama veya çıkarma işlemi yapılır.

Kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi görüldüğü gibi çok kolay bir işlemdir. Önemli olan karekök içindeki sayıları aynı olmasıdır. Böylece kat sayılar arasında toplama ve çıkarma işlemi yaparak sonucu rahatlıkla bulabilirsiniz.

Kareköklü sayılarda dört işlemi doğru ve hızlı bir şekilde yapabilmenin yolu verilen sayıları doğru bir şekilde karekök dışına çıkarmak ile mümkündür. 1 den 20 ye kadar ki sayıların karesini ezbere bilirseniz, verilen kareköklü sayıları da rahatlıkla karekök dışına çıkarabilirsiniz.

Kareköklü Sayılar Çözümlü Sorular bölümünden daha fazla örnek soru çözümüne ulaşabilir veya online Karekök Testlerimize katılarak kendinizi değerlendirebilirsiniz.

KAREKÖKLÜ SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ

Kareköklü sayılarda çarpma işlemi yapılırken; Kat sayılar çarpılıp kat sayı olarak yazılır. Daha sonra karekök içinde verilen sayılar çarpılıp, sonucu kök içine yazılır. En son olarak kök dışına çıkabilen sayı varsa çarpan olarak kök dışına çıkarılır.

Kareköklü Bir Sayının Karesini Alma
Kareköklü bir sayının karesini aldığınızda, kök kalkar. Kareköklü sayının katsayısı var ise, katsayının karesi alınır.

KAREKÖKLÜ SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ

Kareköklü sayılarda bölme işlemi yapılırken; Kat sayılar bölünüp kat sayı olarak yazılır. Daha sonra karekök içindeki sayılar bölünerek sonucu kök içine yazılır. Son olarak sadeleştirmeler yapılıp kök dışına çıkabilen sayı varsa kök dışına çarpan olarak çıkarılır.

Örneklerde de görüldüğü üzere tek yapmamız gereken katsayıları birbirine bölüp katsayı olarak yazmak, karekök içindeki sayıları birbirine bölüp kök içinde katsayının yanına yazmaktır. Kareköklü bir sayıyı doğal sayıya kesinlikle bölmeyiniz. Sadece kareköklü sayıları birbirine bölebilirsiniz.

ONDALIK KESİRLERİN KAREKÖKÜKareköklü Sayılar Konu Anlatımı

Ondalık kesirlerin karekökü iki farklı yoldan bulunabilir. Hangi yol daha kolayınıza gelirse soruları o yoldan çözebilirsiniz.
1.Yol : Verilen ondalıklı kesir, rasyonel sayı biçiminmde yazılarak karekökleri alınabilir. Örnekleri inceleyiniz.

2.Yol : Ondalık kesirlerin virgülden sonraki basamak sayıları çift ise, tam kare kökleri alınabilir. İlk önce virgül yokmuş gibi sayı karekök dışına çıkarılır. Daha sonra, virgülden sonraki her iki basamak için bir basamak sağdan sola doğru virgülle ayırırız.

Üslü Sayılar

Üslü Sayılar

A bir sayı ve n bir pozitif tam sayı olmak üzere, n tane a’nın çarpımına “a’nın n. kuvveti” ya da “a üstü n” denir.

aⁿ = a.a.a.a.a…a

biçiminde gösterilir.

Sayılar yaşamın her alanındadır. Sayılarla birçok yerde karşılaşmaktayız. Çoklukların miktarı, kaç tane olduğu sayılarla ifade edilir.

Bazı çoklukların sayısı o kadar büyüktür ya da o kadar küçüktür ki yazılması güçtür.

Dünyanın en kalabalık ülkesi Çin’dir. Çin’in nüfusu yaklaşık 1.321.000.000 (1321 milyon)’dur. Okyanus sularının ağırlığı yaklaşık 1.390.000.000.000.000.000 (1390 trilyon) tondur. Virüslerin çoğunluğunun kapsit çapı 0,00001 ile 0,0003 mm arasındadır. Çok büyük ve çok küçük sayıları daha kolay ifade etmek için üslü sayılar kullanılır.

Üslü Sayıların Özellikleri

1. Bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir.

a¹ = a

5¹ = 5

(-3) ¹ = -3

2¹ = 2

2. Sıfırdan farklı bir sayının 0. kuvveti 1’e eşittir.

a⁰ = 1

18⁰ = 1

(-132) ⁰ = 1

6⁰ = 1

O⁰ = tanımsız

3. Üslü bir sayının kuvveti alınırken üsler çapımı tabana üs olarak yazılır.

(aⁿ) ^m = a^n.m

(3²) ³ = 3^2.3 = 3⁶

(4³) ⁵ = 4^3.5 = 4⁶

(2⁶)⁷ = 2^6.7 = 2⁴²

Üslü Sayıların Değeri

aⁿ üslü sayısında,

a = taban

n = üs (kuvvet) tür.

2⁴  = 2 . 2 . 2 . 2 = 16

5² = 5 . 5 = 25

Tek ve Çift Kuvvetler

Negatif bir sayının çift sayı kuvveti pozitif, tek sayı kuvveti negatiftir.

A negatif bir sayı ve n bir tam sayı olmak üzere,

a²ⁿ  : pozitif

a²ⁿ⁺¹  : negatif

(-3) ²  = (-3) . (-3) = 9

(-1) ²  = (-1) . (-1) = 1

(-6) ²  = (-6) . (-6) = 36

(-5)³ = (-5) . (-5) . (-5) = -125

Pozitif bir sayının, tek ve çift kuvvetleri pozitiftir.

a pozitif bir sayı ve n bir tam sayı olmak üzere,

a²ⁿ  : pozitif

a²ⁿ⁺¹  : pozitif

5³ = 5 . 5 . 5 = 125

6² = 6 . 6 = 36

3⁴ = 3 . 3 . 3 . 3 = 81

7³ = 7 . 7 . 7 =343

Bir Sayının Pozitif ve Negatif Üssü

Bir üslü sayıda, paydan paydaya ya da paydadan paya sayıların yeri değiştirildiğinde üssün işareti değişir.

Kesirlerde Negatif Üs

Bir kesrin üssü negatif ise, kesrin payı ile paydası yer değiştirilip üssü pozitif yapılır.

a ve b birer sayı, n pozitif bir tam sayı ise,

olur.

Biliyormusunuz?

Uzun yazmak zorunda kalınan sayılar kısaca üslü sayılarla ifade edilebilirler. Örneğin 9’un 9. Kuvvetinin 9. Kuvveti, yani 9^387420489 dur.Eğer bu üslü sayının değeri yazılmak istenirse 369 milyon basamağa ve 800 km uzunluğunda kağıda ihtiyaç vardır.

Örnek 1 : Karenin bir kenar uzunluğu 0,5 m’dir. Bu karenin alanı kaç santimetre karedir?

Çözüm :

A = a²

A = (0,5)² = (0,5) . (0,5)

A = 0,25 m²

1 m² = 10.000 cm

0,25 m² = 2500 cm²

Üslü Sayılarda Toplam ve Fark

Üslü sayılarla toplama veya çıkarma işlemi yapabilmek için taban ve üssün aynı olması gerekir.

5.2³+6.2³=(5+6).2³=11.2³

Taban ve üssü aynı olmayan üslü sayılarla toplama veya çıkarma işlemi yapabilmek için bu üslü sayıların değeri bulunur.

2³ + 5² = 2.2.2 + 5.5

8 + 25 = 33

Üslü Sayılarla Toplama ve Çıkarma

aⁿ üslü bir sayı ve x, y birer katsayı ise,

x . aⁿ + y . aⁿ = (x + y) . aⁿ

x . aⁿ – y . aⁿ = (x – y) . aⁿ

8.5³+7.5³=(8+7).5³=15.3³

9.2⁴+8.2⁴=(9+8).2⁴=17.2⁴

15.5⁴-3.5⁴=(15-3).5⁴=12.5⁴

12.6²-2.6² (12-2).6²=10.6²

Örnek 2 : 5 + 2 . 5 – 4 . 5 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm : (1 + 2 – 4) . 5² = -1 . 5²

= 5²

Örnek 3 : 4 . 5³ + 125 + 6 . 5³ – 2³ işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü :

4 . 5³ + 5³ + 6 . 5³ – 2³

= (4 + 1 + 6) . 5³ – 2³

= 11 . 5³ -2³

Üslü Sayılarla Çarpma

1. Tabanları aynı, üsleri farklı üslü sayılarla çarpma

a sıfırdan farklı bir sayı ve m, n birer tam sayı ise,

a^m . aⁿ = a^m+n olur.

Tabanları aynı, üsleri farklı üslü sayılarla çarpma yaparken:
1. Taban aynen yazılır.
2. Üsler toplanıp üs olarak yazılır.

2⁵ . 5⁶ = 2⁵⁺⁶ = 2¹¹

Örnek 4 : 5³ . 125 . 5⁸ . (5²) ³ işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm :

5³ . 5³ . 5³ . 5^2.3

= 5³ . 5 ³. 5⁸ . 5⁶

= 5^3+3+8+6 = 5²⁰

2. Tabanları farklı, üsleri aynı üslü sayılarla çarpma

Tabanları farklı, üsleri aynı üslü sayılarla çarpma yaparken:
1. Tabanlar çarpılıp taban olarak yazılır.
2 Ortak üs, üs olarak yazılır.

2³ . 5³ = (2 . 5) ³ = 10³

a ve b sıfırdan farklı birer sayı, n bir tam sayı ise,

aⁿ . bⁿ = (a.b)ⁿ olur.

Örnek 5 : 3⁶ . (3²) ³ . 5⁶ işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü :

3⁶ . 3^2.3 . 5⁶

= 3⁶ . 3⁶ . 5⁶

= (3 . 3 . 5) ⁶ = 45⁶

3. Tabanları ve üsleri farklı üslü sayılarla çarpma

Tabanları ve üsleri farklı üslü sayılarla çarpma yaparken:
1. Üslü sayıların kuvvetleri alınarak değerleri bulunur.
2. Bulunan değerler çarpılır.

2⁵ . 3² işleminde :

2⁵ = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32

3² = 3 . 3 = 9

32 . 9 = 288 ‘dir.

Biliyormusunuz?

Bazı sayılar için özel eşitlikler vardır.

Sayının rakamlarının küpleri toplamı, o sayıya eşittir.

153 = 1³ + 5³ + 3³

371 = 3³ + 7³ + 1³

407 = 4³ + 0³ + 7³

Benzer şekilde sayının rakamlarının 4. Kuvvetleri toplamı, o sayıya eşittir.

8208 = 8⁴ + 2⁴ + 0⁴ + 8⁴

4151 = 4⁴ + 1⁴ + 5⁴ + 1⁴

Üslü Sayılarla Bölme

1. Tabanları aynı, üsleri farklı üslü sayılarla bölme

Tabanları aynı, üsleri farklı üslü sayılarla bölme yaparken:

1. Taban aynen yazılır.
2. Üsler farkı bulunup üs olarak yazılır.

Örnek 6 :

2. Tabanları farklı, üsleri aynı üslü sayılarla bölme

Tabanları farklı, üsleri aynı üslü sayılarla bölme yaparken:
1. Tabanlar bölünüp taban olarak yazılır.
2. Ortak üs, üs olarak yazılır.

Örnek 7 :

3. Tabanları ve üsleri farklı üslü sayılarla bölme

Tabanları ve üsleri farklı üslü sayılarla bölme yaparken:
1. Üslü sayıların kuvvetleri alınarak değerleri bulunur.
2. Bulunan değerler bölünür.

Örnek 8 : Dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın alanı 5 m’dir.
Bu tarlanın kısa kenarı 5 m olduğuna göre uzun kenarı kaç metredir?

Çözüm :

Soru :

   Teog matematik (ırem ve kubra )